Follow me on Twitter
RSS

 

Meditatii Matematica

Meditatii Matematica - Centrul de greutate

In urmatoarele lectii de meditatii matematica vom determina intr-un mod original si natural centrul de greutate al unui sistem de particule materiale. La inceput ma gandeam sa folosesc denumirea de centru de masa. Insa proprietatea fizica a particulelor ce au masa de a cadea pe Pamant sau alte planete sau stele ( "greutatea" ) permite vizualizarea mentala a deplasarii particulelor din sistem catre centrul lor de greutate. Iar atunci cand acceleratia gravitationala are aceeasi valoare in toate punctele unde se afla particulele sistemului, centrul de greutate coincide cu centrul de masa.

Materia este alcatuita din diverse particule cu mase diferite. Particula cu cea mai mica masa o vom denumi atom. Este doar o denumire pe care am considerat-o a fi cea mai potrivita pentru exemplificarile ce vor urma. De fapt nu s-a descoperit inca particula cu cea mai mica masa. Initial am vrut sa denumesc "graviton" cea mai mica particula care are masa. Parea o denumire buna pentru a sugera miscarea si greutatea. Insa in fizica gravitonul este o particula ipotetica fara masa din care ar fi alcatuit campul gravitational si care ar permite intelegerea atractiei gravitationale dintre corpuri. Apoi am zis sa o denumesc boson pentru ca se banuieste ca bosonul Highs da masa particulelor elementare. Insa aceasta particula inca se mai cauta in acceleratorul de particule de la Geneva. Asa ca vom denumi particula cu cea mai mica masa atom. Atomul este definit in dictionar ca fiind un corpuscul infinit de mic, indivizibil, considerat Ón trecut a fi ultimul element constitutiv al corpurilor. Noi vom avea nevoie de particule de acelasi tip, foarte mici, sferice si cu mase egale. Le vom denumi atomi.
Este evident ca centrul de greutate al unui atom este situat chiar in locul in care se afla atomul.

Meditatii Matematica - Centrul de greutate a doi atomi aflati la distanta d unul fata de altul

Nu ascund faptul ca doresc sa intelegi logic motivul pentru care centrul de greutate se afla la mijlocul distantei dintre 2 atomi. Ti-as putea spune ca centrul de greutate este unic (nu exista mai multe centre de greutate pentru un sistem de particule). Asadar, din multimea punctelor care se afla intr-un plan perpendicular pe mijlocul segmentului ce uneste cei doi atomi, doar mijlocul segmentului pare a fi acel centru de greutate unic. As putea sa afirm ca din motive de simetrie, centrul de greutate se afla la mijlocul distantei dintre cei doi atomi. Dar cineva mai cartitor ar putea sustine ca eu gresesc si ca tot din motive de simetrie el banuieste ca centrul de greutate ar fi de pilda in cel de-al treilea varf al unui triunghi echilateral aflat in plan vertical si care are ca varfuri cei doi atomi si centrul de greutate. Eu i-as spune ca exista doua triunghiuri echilaterale in plan vertical iar centrul de greutate nu poate fi in doua locuri pentru ca este unic. El nu m-ar contrazice dar ar sustine ca centrul de greutate se afla intr-un varf al unuia din cele doua triunghiuri echilaterale dar ca nu stie cu exactitate in care anume. Ca sa-l contrazic voi justifica pe o cale logica si plauzibila de ce centrul de greutate al acestor 2 atomi se afla la mijlocul distantei dintre ei.

Centrul de greutate al unei bare omogene se afla la mijlocul distantei dintre capetele sale. Aceasta afirmatie pare de bun simt insa la meditatii matematica ea trebuie justificata din punct de vedere fizic. Sa presupunem ca bara este foarte scurta si este alcatuita doar din cei 2 atomi reprezentand capetele sale.

In acest caz centrul de greutate este conform definitiei invatate la meditatii matematica un punct unic in care se concentreaza masa celor 2 atomi. Sa presupunem ca asezam bara in plan orizontal la nivelul solului. Cu alte cuvinte, energia potentiala a barei este egala cu zero { Ep = (m1+m2)gh = 0}. Bara se afla in mod evident in repaus. Ca urmare si energia sa cinetica este egala cu zero {Ec = [(m1+m2)v^2]/2 = 0}. Asadar, energia mecanica a barei este egala cu zero { Em = Ep + Ec = 0). Trebuie sa ne imaginam centrul de greutate ca fiind un punct legat de fiecare dintre atomii barei prin fire invizibile extrem de subtiri (mai subtiri decat panza de paianjen),usoare (practic nu au greutate) si rigide (centrul de greutate se misca solidar cu cei doi atomi). Daca centrul de greutate nu s-ar afla in punctul de contact dintre cei 2 atomi ci intr-un alt punct aflat in planul perpendicular pe segmentul ce uneste centrele celor 2 atomi am ajunge la o contradictie fizica. Atunci cand am roti pe loc unul dintre atomi in jurul segmentului ce leaga centrul sau de centrul celuilalt atom, al doilea se va roti tot pe loc in jurul aceluiasi segment. Practic, bara ar ramane in aceeasi pozitie orizontala deoarece capetele sale nu s-au deplasat. Acest centru ipotetic de greutate ar descrie o traiectorie circulara intr-un plan vertical perpendicular pe mijlocul segmentului ce uneste cei doi atomi. Este evident ca in acest caz energia potentiala a acestui ipotetic centru de greutate nu ar mai fi egala cu zero deoarece el s-ar afla la diverse inaltimi sau adancimi fata de sol. Singurul punct din acest plan vertical care va avea energia potentiala egala cu zero va fi chiar punctul de contact dintre cei 2 atomi, adica mijlocul segmentului ce uneste centrele celor 2 atomi.

Teoretic, daca am aseza bara in pozitie orizontala si am sustine-o punand in centrul de greutate al acesteia un ac cu varful foarte subtire, bara va sta in echilibru. In mod cert, acul trebuie asezat intr-un punct de pe bara situat pe segmentul ce uneste centrele celor 2 atomi. Din considerente de simetrie, distanta de la centrul de greutate pana la centrul primului atom trebuie sa fie egala cu distanta de la centrul de greutate la centrul celui de-al doilea atom. Asadar, intr-adevar centrul de greutate nu se poate afla decat la mijlocul distantei dintre centrele celor 2 atomi, adica in punctul in care acestia se afla in contact.

Din aceleasi considerente, daca bara este alcatuita din 3 atomi, centrul de greutate al sau se va afla chiar in centrul atomului central. Asadar, indiferent daca bara este alcatuita dintr-un numar par sau impar de atomi, centrul sau de greutate se va afla la mijlocul segmentului ce uneste centrele atomilor de la capetele barei.

Pentru a determina centrul de greutate a doi atomi aflati la distanta "d" unul fata de altul trebuie sa ne imaginam o bara alcatuita din "n" atomi (n≥3) ale carei capete sunt chiar cei doi atomi. Centrul de greutate al sub-barei alcatuita din cei "n-2" atomi interiori se afla in aceeasi pozitie cu centrul de greutate al barei initiale. Ca urmare,in mod logic, centrul de greutate al celor 2 atomi aflati la capetele barei nu se poate afla decat in aceeasi pozitie cu centrul de greutate al barei si al sub-barei. Prin reducere la absurd, daca centrul de greutate al celor 2 atomi extremi s-ar afla in alta pozitie atunci centrul de greutate al sistemului de particule format din cei doi atomi extremi si sub-bara nu ar mai avea cum sa fie in aceeasi pozitie cu centrul de greutate al barei initiale. S-ar contrazice astfel faptul ca pozitia centrului de greutate al barei si al sub-barei este aceeasi.

In lectia urmatoare de meditatii matematica vom determina centrul de greutate a unui sistem format din 2 corpuri punctiforme de mase diferite. Vom avea de a face cu progresii geometrice, limite si inductia matematica. In viitor vom utiliza si asemanarea de triunghiuri, calculul de determinanti si integrale. Demonstratiile matematice nu vor presupune decat cunostinte elementare de matematica dobandite in liceu. Ele isi vor dovedi utilitatea in aflarea pozitiei centrului de greutate a unui sistem oarecare de puncte materiale.